年金现值系数公式推导过程（简单易懂的普通年金现值推导公式详解）

原标题：年金现值系数公式推导过程（简单易懂的普通年金现值推导公式详解）

年金是指等额、定期的系列支出。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款等。

年金有普通年金、预付年金、递延年金和永续年金。

普通年金又称后付年金，是指各期期末收付的年金。普通年金现值，是指为在每期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额。

预付年金是指在每期期初支付的年金。

递延年金是指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金。

无限期定额支付的年金，称为永续年金。现实中的存本取息，可视为永续年金的一个例子。

年金现值是指将在一定时期内按相同时间间隔在每期期末收入或支付的相等金额折算到第一期初的现值之和

年金现值是年金终值的逆计算。

计算公式：

p=[1-(1+i)的-n次方]/i，p是年金现值因子，设普通年金1元、利率为i、n期的年金现值，记作（p/a，i，n）。

推导过程：p=[1-(1+i)的-n次方].......①

将①式乘以（1+i）........②，

②-①，则:

(1 + i)p − p = a − a(1 + i)的-n次方

p(1 + i − 1) = a[1 − (1 + i)的-n次方]

=a*(1-(1+i）的-n次方））/i

其中(1-(1+i）的-n次方））/i称为年金现值系数，记做（p/a,i,n）

即普通年金现值p=a*（p/a,i,n）

举例

普通年金现值是指一定时期内每期期末收付款项复利现值之和。

例1：要得到按6%折现、期数为3、每期为1元的普通年金的现值，可按下列方法计算，

在第一期末收到1元的现值为0.943元，第二期末收到1元的现值为0.890元，第三期末收到到1元的现值为0.840。年金的现值就是各个现值的总和2.673元。

例2：租入某设备，每年年末需支付租金1200元，年复利率为10%，5年内应支付租金总额的现值是多少？(元)

解答：知道年金，求年金现值！

1200*年金现值系数=4549（元）

所以，4549元是1200元租金年金按利率为10%五年期的现值。

现实上，年金现值与年金是互为逆运算，若已知年金现值时，也可求得年金，计算公式为：

式中是年金现值系数的倒数，也称资本回收系数，因为这个系数是计算资本回收额时使用的，而资本回收是指在给定期的年限内等额回收或清偿初投入的资本或所欠的债务，资本回收额的计算实际上是已知年金现值求年金的形式。

例：某企业以12%的年利率借款10万元，投资于某个寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金才是有利的？

解答：知道年金现值，求年金！

10万/年金现值系数=17700（元）

所以，17700元是10万元年金现值按利率12%十年期的年金，也是用10万元借款投资十年期项目在利率12%的情况下每年至少要收回的现金金额。